کد خبر: ۱۸۲۹۱
تاریخ انتشار: ۰۱ مرداد ۱۳۹۹ - ۱۳:۴۲-22 July 2020
هندسه فرکتال روشی برای درک و محاسبه اشکال پیچیده و به ظاهر بی‌‌قاعده است که به دنبال یک ساختار نظم‌‌ دهنده در آن‌هاست.
عصراسلام: ایده هندسه فرکتال توسط ریاضیدان فرانسوی بنویت مندلبرات در ابتدای دهه ٧٠  معرفی شد، شکل‌‌هایی که در هر بزرگنمایی، یکسان به نظر می‌رسند. 

در ابتدای کار در IBM، مندلبرت به مشکل نویز در خطوط تلفنی که برای انتقال اطلاعات استفاده می‌شد، برخورد. مهندسین پی بردند که با افزایش جریان الکتریکی حامل پیام، نویز کاهش پیدا می‌کند اما همچنان پالس‌‌هایی از نویز قابل حذف شدن نبود.

نویزها در ظاهر هیچ الگوی نداشتند و گاهی به صورت دسته‌‌ای cluster ظاهر می‌شدند. مندلبرت با بررسی توزیع نویزها و سیگنال اصلی پی برد که یک رابطه هندسی بین آن دو برقرار است، در یک بازه زمانی به هر اندازه‌ای، نسبت بازه زمانی پاک به بازه زمانی نویزدار مقدار ثابتی است.

مندلبرت سپس به دنبال این رفت که آیا در طبیعت هم این رفتارهای الگودار وجود دارد. به بررسی آمار سطح رود نیل پرداخت که از هزار سال قبل موجود بود. عمق رود نیل دچار نوسانات زیادی بود، گاهی سالهای متوالی سیل‌‌آسا بود و گاهی سالها آرام و کم آب.‏

با مطالعه آمار متوجه شد که رفتار نیل، علی‌‌رغم غیر قابل پیش‌بینی بودن، در بازه‌ زمانی‌‌هایی با اندازه مختلف یک الگوی ثابتی دارد. سپس به سراغ هندسه و معادل سازی رفت. از دید مندلبرت این پدیده‌های طبیعی تصادفی اما دارای الگو با هندسه کلاسیک اقلیدسی سازگار نبود.‏

خط، دایره، صفحه، کره ... یک برداشت/abstraction قدرتمند از جهان اطراف بودند. اما برای فهم پیچیدگی طبیعت کمی نارسا به نظر می‌رسیدند. به قول خود مندلبارت، ابر گرد نیست، کوه‌ها مخروطی شکل نیستند، و شکل صاعقه مسیر مستقیم راه طی نمی‌کند.‏

سپس سوالی کلیدی که مندلبرت با آن روبرو شد این بود که طول ساحل انگلیس چقدر است که جوابی برای آن نیافت. شکل ساحل به گونه‌ای است که قابل معادل‌‌سازی با اشکال هندسی مرسوم و در نتیجه اندازه‌گیری نیست. از دید او هر چقدر ساحل دقیق‌تر و از نزدیک‌تر بررسی شود،‏ ناهمواری‌ها بی‌‌پایان بوده و طول ساحل به بی‌‌نهایت میل می‌کند. در ادامه او به سراغ هندسه جدیدی رفت که بهتر بتواند جهان اطراف ما را تعریف کند. 

مندلبرت تعریف جدیدی از بُعد فرکتالی برای اجسام در نظر گرفت: معیاری از برآمدگی، پستی/بلندی، زبری و غیریکنواختی.‏ ادعای او این بود که شکل‌‌ها در طبیعت در هر مقیاسی از بزرگنمایی بعد فرکتالی تقریبا ثابتی دارند. یعنی با هر اندازه بزرگنمایی در شکل، میزان پستی و بلندی یا roughness ثابت است و هر بخشی از شکل نمونه کاملی از خود شکل اصلی است.‏

یک مثلث را در نظر بگیرید، بر هر ضلع آن مثلث کوچکتری به اندازه ١/٣ مثلث اصلی ایجاد کنید، نتیجه مثلث داوود خواهد بود. با ادامه این تبدیل به منحنی‌‌ای میرسیم که ریاضیدان سوئدی Kock در سال ١٩٠۴ این شکل را معرفی کرد، که یک گلوله برفی ایده‌آل را نشان می‌دهد. ویژگیهای جالبی هم دارد، با هر تبدیل به مساحت آن افزوده می‌شود، اما بدیهی است که مساحت آن همیشه محدود است. از طرفی هر تبدیل به اندازه به محیط شکل می‌‌افزاید، یعنی افزایش طول تا بی‌نهایت. 

مفهومی که با برداشت ریاضیدانان از هندسه و اجسام سازگار نبود.‏ صورت دیگری از تکرار مثلث‌ها به شکل فرکتالی معروف به Sierpinski Gasket منجر می‌شود که در هندسه برج ایفل می‌توان دید. به جای یک ساختار بزرگ سنگین که چندان به استحکام آن نمی‌‌افزود، طراح برج از اجزا مثلثی در بخشهای مختلف آن استفاده کرد.‌ 

‏در واقع بعد فراکتالی، معیاری برای قابلیت شکل در اشغال کردن فضا بود. یک خط و یک مربع با دو برابر شدن اندازه، وزن آنها ٢ و ۴ برابر می‌‌شود، خط و مربع به ترتیب ١ و ٢بعدی هستند. از طرفی مثلث Sierpinski با دو برابر شدن، وزن آن ٣ برابر می‌شود، در واقع بعد آن بین ٢ و ٣ است،‏ که می‌توان مقدار دقیق بُعد آنرا محاسبه کرد، ١.۵٨ شکل‌های فرکتالی نسبت مساحت به حجم بیشتری دارند. برای مثال درخت‌ها ساختار فراکتالی دارند تا به دلیل سطح بیشتر نور خورشید بسیاری دریافت کنند اما وزن آن‌ها متناسب باشد.

ویژگی فراکتال‌ این بود که با هر اندازه بزرگنمایی، یکسان به نظر می‌رسند، در واقع self-similar یا "به خود شبیه" هستند. البته در طبیعت شکلهایی که کاملا دارای این خصوصیت باشند به ندرت یافت می‌شود، اما مبنایی بود برای فهم بهتر شکل‌‌های موجود که با هندسه کلاسیک قابل توضیح دادن نبود.

شولتز یک ژئوفیزیکدان بود که از اولین علاقه‌مندان فرکتالها شد. او با این ایده آشنا بود که اطلاعات موجود از زلزله و بزرگی آن در یک منطقه الگویی را نشان می‌دهد که مستقل از بازه زمانی است. او از هندسه فرکتالی برای توصیف زمین و درک بهتر سطوح مختلف آن استفاده کرد.‏ 

در برخی پدیده‌‌های فیزیکی و اجسام، مقیاس اهمیت دارد. برای مثال اگر تمام اجزا بدن انسان، دو برابر اندازه فعلی بزرگ شود، نتیجه ساختاری ناپایدار خواهد بود. جانور به طول ١٠سانتی‌‌متری ساختار بسیار متفاوتی با جانور ۵٠سانتی‌‌متری دارد.‏

اما برخی پدیده‌های دیگر نظیر طوفان و یا زلزله در هر مقیاسی رفتار مشابه دارند و بسیاری از معادلات حاکم بر رفتار سیالات فاقد بعد است. از همین رو می‌توان کوچک شده بالا هواپیما را در تونل باد آزمایش و مطالعه کرد، و نتایج در حالت واقعی نیز قابل استناد است.‏ 

سیستم خون‌رسانی بدن انسان نمونه بارزی از شکل فرکتالی است.برای خون‌رسانی در تمام بدن، رگ به صورت پیوسته، شاخه شاخه شده تا جایی که تنها یک ردیف از سلول خونی امکان جریان در رگ را دارد. در واقع باید برای خون‌رسانی بهینه، سطح بزرگی از رگهای خونی را در یک حجم محدود پیاده‌سازی کند.

در نتیجه به شکلی این ساختار فرکتالی را پیاده‌سازی شده که هر سلول در بدن تنها چند سلول با جریان خون فاصله دارد، در حالیکه عروق و خون در مجموعه تنها ۵٪ حجم بدن را اشغال می‌کنند. به قول مندلبرت، نمی‌توان حتی یک میلی‌‌گرم از گوشت بدن را جدا کرد بدون آنکه خون جاری شود.‏

شُش نیز اندامی دیگری که است ساختار فراکتالی دارد و در حجمی محدود باید بیشترین سطح را فراهم کند. شش انسان اگر در زمین گسترده شود به اندازه زمین تنیس مساحت خواهد داشت. ساختارهای مشابه دیگری در چشم، کلیه، کبد و عروق قلب مشاهده شده است.

تعیین اندازه و محل و جزییات تک تک اجزا بدن توسط DNA شاید ممکن نباشد. همانگونه که شکل‌‌های فرکتالی با یک دستور ساده بوجود می‌آیند، شاید DNA انسان هم تنها دستورالعمل ساده و فرایند تکراری پیدایش اندامهای پیچیده‌ای نظیر شش و عروق خون‌رسانی را در خود دارد. 

فرکتال به تدریج کاربردهای عملی نیز پیدا کرد، در مطالعه پلیمر، در امنیت رآکتورهای هسته‌ای، و در هالیوود برای خلق تصاویر واقعی. مندلبرت معتقد بود اجسام با هندسه اقلیدسی به چشم انسان زیبا به نظر نمی‌رسند چرا که شکلهای ساده نظیر مربع و با خط چندان با طبیعت سازگار نیستند. درک ما از زیبایی از ترکیب هارمونیک نظم و بی‌‌نظمی الهام گرفته، همانگونه که در ابر و کوه و درخت و کریستال برف دیده می‌شود.


منبع: کتاب Chaos Making a New Science
جارد دایموند
نظر شما
نام:
ایمیل:
* نظر:
به روایت مذهبی ها
نظرسنجی
منشاء پدیده داعش را چه می دانید؟
ناشی از تفکر وهابی-تکفیری
محصول توطئه غرب و اسرائیل
آخرین اخبار
پربازدیدترین
خبری-تحلیلی
اخلاق و عرفان
سیره علی بن ابیطالب(ع)
سیره رسول الله(ص)
تاریخ صدر اسلام
تاریخ معاصر
زمین
سلامت و تغذیه
نماز و احکام
کتاب و ادبیات
نظامی
کمپر و ون لایف
شیطان و گناهان
روشنفکری دینی
مرگ
آخرالزمان